التناسبية — التمثيل البياني للتناسبية ومعامل التناسب مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

التناسبية من المفاهيم الأساسية في الرياضيات، وهي علاقة بين كميتين تتغيران بنسبة ثابتة. تستخدم التناسبية في حل مسائل الحياة اليومية كحساب السرعة، الأسعار، الخرائط، والوصفات. في هذا الدرس، نتعرف على مفهوم التناسبية وتمثيلها البياني.

الأهداف التعليمية

• تعريف الكميتين المتناسبتين وتمييز التناسبية.
• حساب معامل التناسب واستخدامه.
• تمثيل التناسبية بيانياً وتفسير المبيان.
• تطبيق التناسبية في مسائل الحياة اليومية.

1. مفهوم التناسبية

نقول إن كميتين متناسبتين إذا كانت النسبة بين قيمهما ثابتة. أي: كلما تضاعفت إحداهما، تضاعفت الأخرى بنفس النسبة.

مثال توضيحي

إذا كان ثمن 1 kg من التفاح 200 DA، فإن:

الكتلة (kg)	1	2	3	4	5
الثمن (DA)	200	400	600	800	1000

نلاحظ أن: 200/1 = 400/2 = 600/3 = 800/4 = 1000/5 = 200 (النسبة ثابتة).

2. معامل التناسب

معامل التناسب هو النسبة الثابتة بين قيم الكميتين المتناسبتين. نحسبه بقسمة قيمة إحدى الكميتين على القيمة المقابلة للكمية الأخرى.

معامل التناسب = y / x (حيث y هي الكمية الثانية و x هي الكمية الأولى)

مثال محلول

جدول يبين المسافة المقطوعة بسرعة ثابتة:

الزمن (ساعة)	1	2	3	5
المسافة (km)	80	160	240	400

الحل: معامل التناسب = 80/1 = 80 km/h (وهي السرعة الثابتة).

الصيغة: المسافة = 80 × الزمن (d = 80 × t)

3. التمثيل البياني للتناسبية

التمثيل البياني لكميتين متناسبتين هو خط مستقيم يمر من أصل المعلم (نقطة الصفر).

خطوات التمثيل البياني

1. ننشئ جدولاً لقيم الكميتين.
2. نحدد النقاط في المعلم (محور الأفاصيل: الكمية الأولى، محور الأراتيب: الكمية الثانية).
3. نصل النقاط بخط مستقيم.
4. نتأكد أن الخط يمر من نقطة الأصل (0,0).

مثال محلول

مثل بيانياً العلاقة بين كتلة التفاح وثمنها (200 DA/kg).

النقاط: (0,0)، (1,200)، (2,400)، (3,600)، (4,800)، (5,1000)

لاحظ أن هذه النقاط تقع على خط مستقيم يمر من نقطة الأصل. ميل هذا الخط هو معامل التناسب (200).

4. تطبيقات التناسبية في الحياة اليومية

• السرعة: المسافة = السرعة × الزمن (d = v × t)
• المقاييس: الطول في الخريطة = المقياس × الطول الحقيقي
• الوصفات: مضاعفة المقادير في الطبخ بنسبة ثابتة
• الصرف: تحويل العملات (سعر الصرف ثابت)
• السلع: حساب الثمن الإجمالي = سعر الوحدة × الكمية

5. اختبار التناسبية

لاختبار إذا كانت كميتان متناسبتين أم لا:

1. نحسب النسبة بين كل قيمة من الكمية الثانية وقيمتها المقابلة من الأولى.
2. إذا كانت جميع النسب متساوية → تناسبية.
3. إذا اختلفت النسب → غير تناسبية.

تمارين تطبيقية

1. حدد إذا كانت الكميات التالية متناسبتين:
   

   أ-	3	6	9	12
   	6	12	18	24

   (الحل: نعم، معامل التناسب = 2)

2. يمشي شخص بسرعة 5 km/h. أنشئ جدولاً للمسافات المقطوعة بعد 1h, 2h, 3h, 4h ثم مثلها بيانياً.
3. إذا كان ثمن 7 كتب هو 2100 DA، فما ثمن 10 كتب بنفس النسبة؟ (الحل: 3000 DA)
4. على خريطة مقياسها 1/100000، المسافة بين مدينتين هي 8 cm. احسب المسافة الحقيقية بالكيلومترات. (الحل: 8 km)

خلاصة

• التناسبية: علاقة بين كميتين بنسبة ثابتة.
• معامل التناسب: النسبة الثابتة بين القيم (y/x = a).
• التمثيل البياني للتناسبية: خط مستقيم يمر من أصل المعلم.
• يمكن اختبار التناسبية بمقارنة النسب بين القيم.
• للتناسبية تطبيقات واسعة في الحياة اليومية.

دروس مشابهة

• الجداء المتصالب (الضرب التبادلي) في التناسبية