جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — طرق الحل (التعويض والجمع) — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

في بعض المسائل الرياضية، نواجه مواقف نحتاج فيها إلى إيجاد قيمتين مجهولتين. لحل هذه المسائل نستخدم جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين. في هذا الدرس، سنتعرف على كيفية حل هذه الجمل باستخدام طريقتين: التعويض والجمع.

أهداف الدرس

• التعرف على مفهوم جملة معادلتين بمجهولين
• حل جملة معادلتين بطريقة التعويض
• حل جملة معادلتين بطريقة الجمع
• تطبيق هذه المفاهيم في مسائل من الحياة اليومية

I — تعريف جملة معادلتين بمجهولين

جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين (x, y) تكتب على الشكل:

ax + by = c
a’x + b’y = c’

حيث a, b, c, a’, b’, c’ أعداد معلومة، و x, y هما المجهولان.

حل الجملة هو إيجاد قيمة x وقيمة y التي تحقق المعادلتين معاً.

II — طريقة التعويض

الخطوات:

1. نعزل أحد المجهولين من إحدى المعادلتين
2. نعوض به في المعادلة الأخرى
3. نحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة أحد المجهولين
4. نعوض القيمة في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة المجهول الآخر

مثال: حل الجملة التالية بطريقة التعويض:

2x + y = 7
3x − 2y = 7

الحل:

1) من المعادلة الأولى: y = 7 − 2x

2) نعوض في المعادلة الثانية:
3x − 2(7 − 2x) = 7
3x − 14 + 4x = 7
7x − 14 = 7
7x = 21
x = 3

3) نعوض x = 3 في المعادلة y = 7 − 2x:
y = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1

إذن: x = 3, y = 1

III — طريقة الجمع

الخطوات:

1. نجمع المعادلتين (أو نطرحهما) بحيث نحذف أحد المجهولين
2. نضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد مناسب لتسوية المعاملات
3. نحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة أحد المجهولين
4. نعوض القيمة لإيجاد المجهول الآخر

مثال: حل الجملة التالية بطريقة الجمع:

3x + 2y = 13
x − 2y = −1

الحل:

1) نجمع المعادلتين (لأن 2y و 2y- متعاكستان):
3x + x + 2y − 2y = 13 + (−1)
4x = 12
x = 3

2) نعوض x = 3 في المعادلة الأولى:
3(3) + 2y = 13
9 + 2y = 13
2y = 4
y = 2

إذن: x = 3, y = 2

IV — مثال آخر (ضرورة الضرب)

حل الجملة:

2x + 3y = 8
3x + 5y = 13

طريقة الجمع:

نضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 2-:
6x + 9y = 24
−6x − 10y = −26
نجمع: −y = −2 → y = 2

نعوض في الأولى: 2x + 3(2) = 8 → 2x + 6 = 8 → 2x = 2 → x = 1

إذن: x = 1, y = 2

V — تطبيق: مسألة حياتية

اشترى أحمد 3 كتب و 5 أقلام بمبلغ 35 ديناراً. واشترت سارة كتابين و 3 أقلام من نفس النوع بمبلغ 22 ديناراً. ما ثمن الكتاب الواحد والقلم الواحد؟

الحل:

نفرض أن ثمن الكتاب = x، ثمن القلم = y

3x + 5y = 35
2x + 3y = 22

نضرب الثانية في 5 والأولى في 3-:
−9x − 15y = −105
10x + 15y = 110
نجمع: x = 5

نعوض في المعادلة الثانية: 2(5) + 3y = 22 → 10 + 3y = 22 → 3y = 12 → y = 4

إذن: ثمن الكتاب = 5 دنانير، ثمن القلم = 4 دنانير

خلاصة

جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين تُحل بطريقتين رئيسيتين: التعويض (نعزل ثم نعوض) والجمع (نضرب ونجمع لحذف أحد المجهولين). نختار الطريقة الأنسب حسب شكل المعادلات. هذه الجمل تستخدم في حل مسائل متنوعة من الحياة اليومية.

تمارين

التمرين 1

حل الجمل التالية بطريقة مناسبة:

أ) x + y = 10, x − y = 4

ب) 2x + y = 7, 3x − y = 8

ج) 5x + 2y = 16, 3x + 4y = 18

التمرين 2

في رحلة مدرسية، دفع 3 تلاميذ و 4 معلمين 3500 دينار. ودفع 5 تلاميذ و معلمان 2500 دينار. ما ثمن تذكرة التلميذ وتذكرة المعلم؟

التمرين 3

مجموع عددين هو 25 والفرق بينهما هو 7. أوجد العددين باستخدام جملة معادلتين.